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1797 字

5 分钟

微分方程求解总结

2026-06-17

数学

高等数学

微分方程基础#

微分方程题目的第一步不是求解，而是辨型。

一、微分方程的基本概念#

含有未知函数及其导数的方程，叫作微分方程。

例如：

\frac{dy}{dx}=x+y

其中未知函数是 $y=y(x)$ ，方程中出现了 $y$ 的导数。

1. 阶#

方程中出现的最高阶导数的阶数，叫作微分方程的阶。

例如：

y''+3y'-4y=0

最高阶导数是 $y''$ ，所以它是二阶微分方程。

2. 通解与特解#

含有任意常数的解，叫作通解。

例如：

y=C e^x

这里含有一个任意常数 $C$ ，它通常是一阶微分方程的通解。

满足附加条件的解，叫作特解。例如已知 $y(0)=2$ ，代入上式得 $C=2$ ，于是特解为：

y=2e^x

3. 初始条件#

题目中给出的 $y(x_0)=y_0$ 、 $y'(x_0)=a$ 等条件，叫作初始条件。它们的作用是确定通解中的任意常数。

一阶微分方程通常需要一个初始条件；二阶微分方程通常需要两个初始条件。

二、一阶微分方程：先辨型#

考研中常见的一阶微分方程主要有三类：

可分离变量方程
齐次方程
一阶线性微分方程

做题时可以按下面的顺序判断：

1
能否写成 dy/dx = f(x)g(y) ？
2
        是 -> 可分离变量
3
        否
4
是否只含 y/x 或 x/y 的结构？
5
        是 -> 齐次方程，令 y=ux
6
        否
7
能否写成 y' + P(x)y = Q(x)？
8
        是 -> 一阶线性微分方程

三、可分离变量方程#

1. 标准形式#

如果方程能化为：

\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)

就称为可分离变量方程。

它的目标是把含 $y$ 的部分放到一边，把含 $x$ 的部分放到另一边：

\frac{1}{g(y)}dy=f(x)dx

然后两边积分。

2. 解题步骤#

分离变量。
两边积分。
化简通解。
如果有初始条件，代入求常数。

4. 注意#

分离变量时，如果两边除以含未知函数的式子，要注意是否会漏掉零解。

例如：

y'=xy^2

若直接除以 $y^2$ ，需要注意 $y=0$ 本身也是一个解。

四、齐次方程#

1. 标准形式#

一阶齐次微分方程通常可以写成：

\frac{dy}{dx}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)

也就是说，右边只和 $\frac{y}{x}$ 有关。

这类题的固定换元是：

y=ux

其中 $u=u(x)$ 。于是：

y'=u+xu'

代入原方程后，通常可以化成可分离变量方程。

2. 例题#

求解：

\frac{dy}{dx}=1+\frac{y}{x}

解：

令：

y=ux

则：

y'=u+xu'

代入原方程：

u+xu'=1+u

所以：

xu'=1

即：

du=\frac{1}{x}dx

积分得：

u=\ln |x|+C

因为 $u=\frac{y}{x}$ ，所以：

y=x(\ln |x|+C)

3. 识别技巧#

看到下面这些形式，要优先想到齐次方程：

\frac{dy}{dx}=F\left(\frac{y}{x}\right)

或：

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

其中 $M,N$ 都是同次齐次函数。

所谓同次齐次函数，是指 $M(tx,ty)=t^kM(x,y)$ ， $N(tx,ty)=t^kN(x,y)$ ，二者次数相同。

五、一阶线性微分方程#

1. 标准形式#

一阶线性微分方程的标准形式是：

y'+P(x)y=Q(x)

这里 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 只与 $x$ 有关。

如果 $Q(x)=0$ ，它是齐次线性方程；如果 $Q(x)\ne0$ ，它是非齐次线性方程。

2. 通解公式#

一阶线性微分方程的通解为：

y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right]

这个公式来自积分因子法。基础阶段可以先会用，后面再理解推导。

积分因子为：

\mu(x)=e^{\int P(x)dx}

原方程两边同乘 $\mu(x)$ 后，左边会变成一个整体导数：

\left[y e^{\int P(x)dx}\right]'=Q(x)e^{\int P(x)dx}

再积分即可。

3. 例题#

求解：

y'-2y=e^{3x}

解：

这里：

P(x)=-2,\quad Q(x)=e^{3x}

代入公式：

y=e^{-\int -2dx}\left[\int e^{3x}e^{\int -2dx}dx+C\right]

即：

y=e^{2x}\left[\int e^x dx+C\right]

所以：

y=e^{2x}(e^x+C)=e^{3x}+Ce^{2x}

4. 易错点#

一阶线性方程一定要先化成：

y'+P(x)y=Q(x)

再套公式。尤其要注意 $y'$ 前面的系数必须是 1。

例如：

xy'+y=x^2

不能直接认为 $P(x)=1$ ，而应先两边除以 $x$ ：

y'+\frac{1}{x}y=x

于是：

P(x)=\frac{1}{x},\quad Q(x)=x

六、二阶常系数线性微分方程#

考研基础阶段还需要掌握二阶常系数线性微分方程，尤其是齐次方程。

1. 标准形式#

y''+py'+qy=0

其中 $p,q$ 是常数。

2. 特征方程#

设：

y=e^{rx}

代入方程得到：

r^2+pr+q=0

这个代数方程叫作特征方程。

3. 三种根的情况#

两个不相等的实根#

若特征方程有两个不相等的实根 $r_1,r_2$ ，则通解为：

y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}

两个相等的实根#

若特征方程有二重实根 $r$ ，则通解为：

y=(C_1+C_2x)e^{rx}

一对共轭复根#

若特征方程有一对共轭复根：

r=\alpha\pm \beta i

则通解为：

y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)

4. 例题#

求解：

y''-3y'+2y=0

解：

特征方程为：

r^2-3r+2=0

分解：

(r-1)(r-2)=0

所以：

r_1=1,\quad r_2=2

通解为：

y=C_1e^x+C_2e^{2x}

七、非齐次二阶方程的基础认识#

非齐次二阶常系数线性方程形如：

y''+py'+qy=f(x)

它的通解结构是：

y=y_h+y^*

其中：

$y_h$ 是对应齐次方程 $y''+py'+qy=0$ 的通解。
$y^*$ 是非齐次方程的一个特解。

基础阶段先记住一句话：

非齐次方程的通解 = 齐次通解 + 非齐次特解。

至于特解怎么设，常见情况一般有两类：

$f(x)$ 是多项式、指数函数、三角函数或它们的组合。
用待定系数法根据右端函数形状设特解。

例如：

y''-3y'+2y=e^x

右端是 $e^x$ ，但 $e^x$ 已经是齐次方程的一个解，因此设特解时不能简单设 $Ae^x$ ，需要乘以 $x$ 调整。这类问题后续要结合“特征根是否冲突”来判断。

八、考研常见考法#

1. 直接求通解#

题目给出方程，只要求通解。此时重点是辨型和计算。

常见入口：

看到 $\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ ，想到可分离变量。
看到 $\frac{y}{x}$ ，想到齐次方程。
看到 $y'+P(x)y=Q(x)$ ，想到一阶线性方程。
看到 $y''+py'+qy=0$ ，想到特征方程。

2. 求满足初值条件的特解#

先求通解，再代入初始条件。

例如已知：

y'=xy,\quad y(0)=1

通解为：

y=Ce^{\frac{x^2}{2}}

代入 $y(0)=1$ ：

1=C

所以：

y=e^{\frac{x^2}{2}}

3. 和极限、导数、积分结合#

微分方程常常不会单独出现，而是和其他章节结合。例如题目可能先给出某个函数满足微分方程，再要求极限、单调性、拐点或定积分。

这种题的关键是：先把函数表达式求出来，再回到原问题。

九、做题流程总结#

遇到微分方程题，可以按下面的流程走：

1
第一步：看阶数
2
    一阶 -> 分离变量、齐次、一阶线性
3
    二阶 -> 常系数线性方程优先考虑特征方程
4

5
第二步：看形式
6
    能分离就分离
7
    只含 y/x 就令 y=ux
8
    形如 y' + P(x)y = Q(x) 就用积分因子
9
    形如 y'' + py' + qy = 0 就写特征方程
10

11
第三步：求通解
12

13
第四步：有初始条件就代入求常数
14

15
第五步：检查是否漏掉特殊解

十、常见易错点整理#

1. 忘记先化标准形式#

一阶线性方程必须先化成 $y'+P(x)y=Q(x)$ ，二阶常系数线性方程也要看清系数和右端项。

2. 分离变量时漏掉零解#

只要除以了含 $y$ 的因子，就要想一想这个因子等于 0 时是否也是解。

3. 齐次方程换元后忘记求导#

令 $y=ux$ 后，不能把 $y'$ 写成 $u'$ 。正确的是：

y'=u+xu'

4. 特征根重复时少乘一个 $x$ #

当特征方程有二重根 $r$ 时，通解不是：

C_1e^{rx}+C_2e^{rx}

而是：

(C_1+C_2x)e^{rx}

5. 常数合并不熟练#

例如：

\ln |y|=\frac{x^2}{2}+C

可以写成：

y=Ce^{\frac{x^2}{2}}

这里的 $C$ 已经吸收了正负号和指数常数。

十二、小结#

可分离变量：分离后积分。
齐次方程：令 $y=ux$ 。
一阶线性方程：化标准形式，用积分因子。
二阶常系数齐次方程：写特征方程。
非齐次线性方程：通解等于齐次通解加一个非齐次特解。

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微分方程求解总结

https://blog.ninsa.top/posts/main/differential-equations-basic-30/

作者

Ninsa

发布于

2026-06-17

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微分方程基础#

一、微分方程的基本概念#

1. 阶#

2. 通解与特解#

3. 初始条件#

二、一阶微分方程：先辨型#

三、可分离变量方程#

1. 标准形式#

2. 解题步骤#

4. 注意#

四、齐次方程#

1. 标准形式#

2. 例题#

3. 识别技巧#

五、一阶线性微分方程#

1. 标准形式#

2. 通解公式#

3. 例题#

4. 易错点#

六、二阶常系数线性微分方程#

1. 标准形式#

2. 特征方程#

3. 三种根的情况#

两个不相等的实根#

两个相等的实根#

一对共轭复根#

4. 例题#

七、非齐次二阶方程的基础认识#

八、考研常见考法#

1. 直接求通解#

2. 求满足初值条件的特解#

3. 和极限、导数、积分结合#

九、做题流程总结#

十、常见易错点整理#

1. 忘记先化标准形式#

2. 分离变量时漏掉零解#

3. 齐次方程换元后忘记求导#

4. 特征根重复时少乘一个 xxx#

5. 常数合并不熟练#

十二、小结#

目录

4. 特征根重复时少乘一个 $x$ #